مربع های لاتین

یک جدول مربعی از اعداد \(1,2,3,...,n\) به شکل یک مربع \(n \times n\) را که سطر ها و ستون های آن با اعداد \(1,2,3,...,n\) پر شده باشد و در هیچ سطر آن و نیز در هیچ ستون آن عدد تکراری وجود نداشته باشد، مربع لاتین می نامیم و به هر یک از اعداد درون مربع لاتین یک درایه می گوییم.

در حالت کلی شکل زیر یک مربع لاتین \(n \times n\) است که به آن مربع لایتن چرخشی می گوییم.

ساخت مربع لاتین

روش چرخشی

در سطر اول اعداد \(1,2,3,...,n\) را می گذاریم، آخرین عدد سطر اول را که n است در ابتدای سطر دوم نوشته و بقیه عدد ها را در سطر دوم یکی یکی به راست می بریم و این کار را تکرار می کنیم.

روش جا به جایی سطر و ستون

با تعویض جای هر دو سطر یا هر دو ستون یک مربع لاتین می توان مربع لاتین جدیدی ساخت.

در a ستون 1 با ستون 3 تعویض شد و در b سطر 1 با سطر 2 تعویض شد.

روش جایگشت

می توانیم بدون تغییر جای سطر ها و ستون ها، جای خود عدد ها را با هم عوض کنیم، مثلا به جای تمام 3 ها 2 بنویسیم و برعکس یا همه 1 ها را 2 و همه 2 ها را به 3 و همه 3 ها را به 1 تبدیل کنیم و ... . در این صورت می گوییم جایگشت روی 1 عدد اعمال کرده ایم، با این روش مربع لاتین جدیدی ساخته می شود.

دو مربع لاتین متعامد

فرض کنیم A و B دو مربع لاتین هم مرتبه باشند به طوری که از کنار هم قرار دادن درایه های نظیر به نظیر این دو مربع، مربع جدیدی از همان مرتبه حاصل شود که هر خانه آن حاوی یک عدد دو رقمی است که تمام رقم های سمت چپ مربوط به مربع a و تمام رقم های سمت راست مربوط به مربع B (و یا برعکس) است، اگر هیچ یک از اعداد دو رقمی موجود در خانه های مربع جدید تکرار نشده باشند می گوییم دو مربع لاتین A و B متعامدند.

متعامد (عدد تکراری ندارد)

نا متعامد (عدد تکراری دارد)

یک روش برای ساختن دو مربع لاتین متعامد از مرتبه یک عدد فرد:

به عنوان مثال نحوه ایجاد دو مربع لاتین متعامد \(3 \times 3\) (مرتبه فرد است) را توضیح می دهیم:

دو شکل مانند زیر ایجاد می کنیم:

حال دو شکل را با هم ترکیب می کنیم: